Question

18．已知函数f（x）=2lnx-x²．
（1）讨论f（x）的单调性并求最大值；
（2）设g（x）=xe^x-（a-1）x²-x-2lnx，若f（x）+g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）令h（x）=xe^x-ax²-x，构造函数q（x）=e^x+xe^x-2ax-1，根据函数的单调性通过讨论a的范围求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）由题意得：x＞0，f′（x）=$\frac{2-{2x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
f（x）的最大值是f（1）=-1；
（2）由题意得：f（x）+g（x）=xe^x-ax²-x，
令h（x）=xe^x-ax²-x，h′（x）=e^x+xe^x-2ax-1，
设q（x）=e^x+xe^x-2ax-1，q′（x）=2e^x+xe^x-2a，
x＞0时，可知2e^x+xe^x递增，且2e^x+xe^x＞2，
当2a≤2即a≤1时，x＞0时，q′（x）＞0，则h′（x）递增，
h′（x）＞h′（0）=0，
则h（x）递增，则h（x）＞h（0）=0，即f（x）+g（x）≥0恒成立，
故a≤1；
2a＞2即a＞1时，则唯一存在t＞0，使得q′（t）=0，
则当x∈（0，t）q′（x）＜0，则h′（x）递减，h′（x）＜h′（0）=0，
则h（x）递减，则h（x）＜h（0）=0，
则f（x）+g（x）≥0不能在（0，+∞）上恒成立，
综上，实数a的范围是：a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．