Question

4．给定两个单位平面向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，其夹角为120°，以O为圆心的圆弧AB上任一点，且$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则满足x+y≥$\sqrt{2}$的概率为（　　）

• A． $2-\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则由$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$得x，y的值，从而求得x+y，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求x+y≥$\sqrt{2}$的概率．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
设∠AOC=α，则$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）
∵$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（-$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y）=（cosα，sinα）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=cosα}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y=sinα}\end{array}\right.$
∴x=$\frac{sinα}{\sqrt{3}}+cosα$，y=$\frac{2sinα}{\sqrt{3}}$
∴x+y=$\sqrt{3}$sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．
∴30°≤α+30°≤150°．
当x+y≥$\sqrt{2}$时，可得sin（α+30°）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°，
∴满足x+y≥$\sqrt{2}$的概率P$\frac{{{{120}°}-2×{{15}°}}}{{{{120}°}}}=\frac{3}{4}$
故选：B．

点评 本题是向量的坐标表示的应用，考查概率知识，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．