Question

15．如图，在三棱柱A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形．
（Ⅰ）设D是AB的中点，证明：直线BC₁∥平面A₁DC；
（Ⅱ）在△ABC中，若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC₁交A₁C于点O，连接OD，由OD为△ABC₁ 的中位线，OD∥BC₁，即可判定直线BC₁∥平面A₁DC．
（Ⅱ）由AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，可证AA₁⊥平面ABC，AA₁⊥BC，由BC⊥AC，BC⊥AA₁，即可证明BC⊥平面ACC₁A₁．

解答 （本题满分为12分）
证明：（Ⅰ）连接AC₁交A₁C于点O，连接OD．…（2分）
因为：四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点，D是AB的中点，
所以：OD为△ABC₁ 的中位线，OD∥BC₁，…（4分）
因为：直线OD?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC．
所以：直线BC₁∥平面A₁DC．…（6分）
（Ⅱ）因为四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都是矩形，
所以：AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．…（7分）
因为：AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，
所以：AA₁⊥平面ABC．…（9分）
因为：直线BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC．…（10分）
由BC⊥AC，BC⊥AA₁，AA₁，AC为平面ACC₁A₁内的两条相交直线，
所以：BC⊥平面ACC₁A₁．…（12分）

点评 本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．