Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知两点E（-1，0）和F（1，0），动点M满足$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{FM}$=0，设点M的轨迹为C，半抛物线C′：y²=2x（y≥0），设点$D（\frac{1}{2}\;，\;0）$．
（Ⅰ）求C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点T是曲线C′上一点，曲线C′在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{FM}$=0，得（x+1）（x-1）+y²=1，即可求C的轨迹方程；
（Ⅱ）求出曲线C′在点T处的切线与曲线C联立，过点D作x轴的垂线交直线AB于点R，即可求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．

解答 解：（Ⅰ）设点M（x，y），由$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{FM}$=0，得（x+1）（x-1）+y²=1，
所以C的轨迹方程是x²+y²=1；
（Ⅱ）抛物线C′为y=$\sqrt{2}{x}^{\frac{1}{2}}$，设T（$\frac{1}{2}$t²，t）（t＞0），则y′=$\frac{1}{\sqrt{2x}}$，
所以切线为：y-t=$\frac{1}{t}$（x-$\frac{1}{2}$t²）
即2x-2ty+t²=0，联立x²+y²=1，可得4（1+t²）x²+4t²x+t⁴-4t²=0，
判别式△=16t²（-t⁴+4t²+4），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|x₁-x₂|=$\frac{t\sqrt{-{t}^{4}+4{t}^{2}+4}}{1+{t}^{2}}$
过点D作x轴的垂线交直线AB于点R，于是得R（$\frac{1}{2}$，$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$），则|DR|=$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$，
故△ABD的面积S=$\frac{1}{2}$×|DR||x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{-（{t}^{2}-2）^{2}-8}}{4}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此时$T（1\;，\;\sqrt{2}）$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．