Question

7．已知F₁，F₂分别是离心率为$\frac{3}{5}$的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，P为椭圆E上一点，且△F₁F₂P的周长为16．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若|PF₁|=$\frac{16}{5}$，求点P到椭圆左顶点A的距离．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义和离心率公式，解得a=5，c=3，b=4，进而得到椭圆方程；
（2）运用椭圆的第二定义，求得P的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到．

解答 解：（1）△F₁F₂P的周长为16，
即有|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=16，
即a+c=8，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
解得a=5，c=3，b=4，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左准线方程为x=-$\frac{25}{3}$，
由|PF₁|=$\frac{16}{5}$，可得e=$\frac{|P{F}_{1}|}{d}$=$\frac{3}{5}$，
则d=x_P+$\frac{25}{3}$=$\frac{16}{3}$，
即有x_P=-3，y_P=±$\frac{16}{5}$．
则点P到椭圆左顶点A（-5，0）的距离为：
$\sqrt{（-3+5）^{2}+（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{89}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．