Question

13．已知圆O：x²+y²=1和直线l：x=3，在x轴上有一点Q（1，0），在圆O上有不与Q重合的两动点P、M，设直线MP斜率为k₁，直线MQ斜率为k₂，直线PQ斜率为k₃．
（1）若k₁k₂=-1
①求出点P的坐标；
②MP交l与P′，MQ交l与Q′．求证：以P′Q′为直径的圆，总过定点，并求出定点的坐标；
（2）若k₂k₃=2，判断直线PM是否经过定点，若有，求出来；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，即PQ为直径，进而得到P的坐标；
②设M（m，n），P'（3，s），Q'（3，t），由三点共线，斜率相等，再由直径式圆的方程，结合恒过定点的思想，即可得到定点；
（2）运用特殊值，求出MP的两条直线方程，求得交点，再验证定点，由MP的方程代入圆的方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，计算即可得到定值2，故定点成立．

解答 解：（1）①k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，
即有PQ为直径，即P的坐标为（-1，0）；
②证明：设M（m，n），P'（3，s），Q'（3，t），
由P，M，P'共线，可得$\frac{n}{m+1}$=$\frac{s}{4}$，
由Q，M，Q'共线，可得$\frac{n}{m-1}$=$\frac{t}{2}$，
又m²+n²=1，即有n²=1-m²，
即有$\frac{st}{8}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-1}$=-1，即为st=-8，
以P′Q′为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-s）（y-t）=0，
即有（x-3）²+y²+st-y（s+t）=0，
即（x-3）²+y²-8-y（s+t）=0，
不过s，t为何值，令y=0，（x-3）²+y²-8=0，
解得y=0，x=3±2$\sqrt{2}$．
则有以P′Q′为直径的圆，总过定点，定点的坐标为（3±2$\sqrt{2}$，0）；
（2）k₂k₃=2，所以k₂，k₃同号．
不妨设k₂=1，则QM：y=x-1，与圆的方程联立，解得M（0，-1），
k₃=2，则QP：y=2（x-1），与圆的方程联立，解得P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），此时MP：x-3y-3=0，
同理由圆的对称性，当M（0，-1）时，k₂=-1，k₃=-2，此时P（（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），MP：x+3y-3=0，
若MP过定点，联立直线MP的方程，求得交点为（3，0），
验证：（3，0）是否为定点．
可设MP：y=k（x-3），代入圆x²+y²=1，可得（1+k²）x²-6k²x+9k²-1=0，
设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
则k₂k₃=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$
=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}{x}_{2}+9-3（{x}_{1}+{x}_{2}））}{{x}_{1}{x}_{2}+1-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
代入韦达定理，化简可得k₂k₃=2．
则有直线PM经过定点（3，0）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查直线方程和圆的方程的运用，以及直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．