Question

【题目】甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞ ），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 ．
（1）求p的值；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当甲连胜2局或乙连胜2局时，

第二局比赛结束时比赛停止，故 ，

解得

（2）解：依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6，

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ，

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，

此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有 ，

则随机变量ξ的分布列为：

ξ	2	4	6
P

故

【解析】（1）已知各局胜负相互独立，第二局比赛结束时比赛停止，包含甲连胜2局或乙连胜2局，写出甲连胜两局的概率和乙连胜两局的概率求和为 ．解出关于P的方程．（2）因为比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止，所以ξ的所有可能取值为2，4，6，而ξ=2已经做出概率，只要求出ξ=4或ξ=6时的概率即可，最后求出期望．
【考点精析】认真审题，首先需要了解离散型随机变量及其分布列(在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列)．