椭圆x2+y24=1短轴的左右两个端点分别为A.B.直线l过定点(0.1)交椭圆于两点C.D．(1)若l与x轴.y轴分别交于两点E.F.CE=FD.求直线l的方程:(2)设直线AD.CB的斜率分别为k1k2.若k1:k2=2:1.求k的值．设C(x1.y1).D(x2.y2).分别过C.D作斜率为-4x1y1和-4x2y2两条直线l1和l2．记l1和l2的交点为M.求△MCD面� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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椭圆x²+

=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．
（1）若l与x轴、y轴分别交于两点E，F，

，求直线l的方程：
（2）设直线AD，CB的斜率分别为k₁k₂，若k₁：k₂=2：1，求k的值．
（3）（理）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），分别过C、D作斜率为-

4x1

和-

4x2

两条直线l₁和l₂．记l₁和l₂的交点为M，求△MCD面积的最小值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线代入椭圆方程得（4+k²）x²+2kx-3=0，再由判别式和根与系数的关系可推导出所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（2）由题设知y₁²=4（1-x₁²），y₂²=4（1-x₂²），由此推出3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，所以3k²-10k+3=0，由此可推导出k的值．
（3）求出M的轨迹方程，结合图形，可得△MCD面积的最小值．

解答： 解：（1）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线l：y=kx+1
代入椭圆方程得（4+k²）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（4+k²）=16k²+48，
x₁+x₂=-

4+k2

，x₁x₂=-

4+k2

由已知E（-

，0），F（0，1），
又

，所以（-

-x₁，-y₁）=（x₂，y₂-1），
所以-

-x₁=x₂，即x₁+x₂=-

所以-

4+k2

，解得k=±2，符合题意，
所以，所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（2）k₁=

x2+1

，k₂=

x1-1

，k₁：k₂=2：1，
所以

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=2，
平方，结合x₁²+

y12

=1，所以y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），代入上式，
计算得

(1-x2)(1-x1)

(1+x1)(1+x2)

=4，即3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，
所以3k²-10k+3=0，解得k=3或k=

，
因为

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=2，x₁，x₂∈（-1，1），所以y₁，y₂异号，故舍去k=

，
所以k=3．
（3）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），分别过C、D作斜率为-

4x1

和-

4x2

两条直线l₁和l₂，方程为4x₁x+y₁y-4=0，4x₂x+y₂y-4=0，∴M的轨迹方程为y=4，
由y=1可得x=±

，∴CD∥x轴时，△MCD面积的最小值为

×3=

．

点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，是历年高考题的重要题型之一，解题时要注意计算能力的培养，注意积累解题方法．

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