Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，则角B=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，整理后得到cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可得解B的值．

解答 证明：在△ABC中，∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，
∴利用正弦定理化简得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，
即sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，两角和与差的正弦函数公式在解三角形中的应用，正弦定理是解决本题的关键．综合性较强，属于基础题．