Question

已知函数处的切线l与直线垂直，函数

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用求导，将处的切线的斜率求出，与直线的斜率乘积为，进而求得的值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的解析式，若函数存在单调递减区间，必有在上有解，进而求得的取值范围；（Ⅲ）根据题意的两个根即为，由韦达定理得到，进而，应换元法进而求得其最小值.

试题解析：（Ⅰ），

垂直，， （3分）

（Ⅱ）

（5分

设，则只须

的取值范围为 （8分）

（Ⅲ）令

（10分）

，

又

，令

， （12分）

故的最小值为 （14分）

考点：1.利用导求切线斜率；2.利用导解决单调递减区间；3.换元法.