Question

已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为

a1

，

a2

，

a3

．若i，j∈{1，2，3}且i≠j，则（

a

_i+

a

_j）•

CD

的所有可能取值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量

a1

，

a2

，

a3

．分别为

AB

，

AC

，

AD

，以C为起点，

CD

，从而得出（

a

_i+

a

_j）•

CD

的所有可能取值．

解答： 解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量

a1

，

a2

，

a3

．分别为

AB

=（1，0），

AC

=（1，1），

AD

=（0，1），
以C为起点，

CD

=（0，-1）．如图建立坐标系．
（1）当i=1，j=2时，（

a

₁+

a

₂）•

CD

的=[（1，0）+（1，1）]•（0，-1）=-1；
（2）当i=1，j=3时，则，（

a

₁+

a

₃）•

CD

的=[（1，0）+（0，-1）]•（0，-1）=-1；
（3）当i=2，j=3时，则，（

a

₂+

a

₃）•

CD

的=[（1，1）+（0，1）]•（0，-1）=-2；
（

a

_i+

a

_j）•

CD

的所有可能取值为：-1，-2．
故答案为：-1，-2．

点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．