Question

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$a•cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．

Answer 1

分析 （1）由bsinA=$\sqrt{3}$a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，化简整理即可得出．
（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，代入计算即可得出．

解答 解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}$a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，
∵sinA≠0，∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，
B∈（0，π），
可知：cosB≠0，否则矛盾．
∴tanB=$\sqrt{3}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴9=a²+c²-ac，
把c=2a代入上式化为：a²=3，解得a=$\sqrt{3}$，
∴$c=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．