Question

5．已知函数f（x）=alog₂x，g（x）=blog₃x（x＞1），其中常数a．b≠0．
（1）证明：用定义证明函数k（x）=f（x）•g（x）的单调性；
（2）设函数φ（x）=m•2^x+n•3^x，其中常数m，n满足m．n＜0，求φ（x+1）＞φ（x）时的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）任取区间（1，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，则k（x₁）÷k（x₂）=（${log}_{{x}_{2}}{x}_{1}$）²∈（0，1），进而分当ab＞0时和当ab＜0时两种情况，可得函数k（x）=f（x）•g（x）的单调性；
（2）由函数φ（x）=m•2^x+n•3^x，可将φ（x+1）＞φ（x）化为m•2^x+2n•3^x＞0，结合m•n＜0，分当m＞0，n＜0时和当m＜0，n＞0时两种情况，可得满足条件的x的取值范围．

解答 证明：（1）任取区间（1，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则${log}_{{x}_{2}}{x}_{1}$∈（0，1），
∵函数f（x）=alog₂x，g（x）=blog₃x（x＞1），
∴k（x₁）÷k（x₂）=（ab•log₂x₁•log₃x₁）÷（ab•log₂x₂•log₃x₂）=（${log}_{{x}_{2}}{x}_{1}$）²∈（0，1），
当ab＞0时，k（x₁）＜k（x₂），函数k（x）=f（x）•g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
当ab＜0时，k（x₁）＞k（x₂），函数k（x）=f（x）•g（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
（2）∵函数φ（x）=m•2^x+n•3^x，φ（x+1）＞φ（x），m•n＜0，
∴φ（x+1）-φ（x）=m•2^x+2n•3^x＞0，
当m＞0，n＜0时，$（\frac{3}{2}）^{x}$＞$-\frac{m}{2n}$，则x＞${log}_{\frac{3}{2}}（-\frac{m}{2n}）$，
当m＜0，n＞0时，$（\frac{3}{2}）^{x}$＜$-\frac{m}{2n}$，则x＜${log}_{\frac{3}{2}}（-\frac{m}{2n}）$，

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数单调性的判断与证明，其中熟练掌握函数单调性的证明方法定义法（作商法）的方法和步骤是解答本题的关键．