Question

6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c₁和2c₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a₁+c₁=a₂+c₂； ②a₁-c₁=a₂-c₂； ③c₁a₂＞a₁c₂； ④$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$．
其中正确的式子序号是②③．

Answer 1

分析 根据图象可知a₁＞a₂、c₁＞c₂，从而a₁+c₁＞a₂+c₂；根据a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|可知a₁-c₁=a₂-c₂；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可．

解答 解：由图可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，
∴a₁+c₁＞a₂+c₂，∴①不正确，
∵a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|，
∴a₁-c₁=a₂-c₂，∴②正确．
∴a₁+c₂=a₂+c₁，
∴（a₁+c₂）²=（a₂+c₁）²，
即a₁²-c₁²+2a₁c₂=a₂²-c₂²+2a₂c₁，
∴b₁²+2a₁c₂=b₂²+2a₂c₁，
∵b₁＞b₂，∴c₁a₂＞a₁c₂，∴③正确；
此时$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$，∴④不正确．
故答案为：②③．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质．以及不等式的性质的应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．注意解题方法的积累，属于中档题．