Question

（1）求不等式-2x²-5x+3＜0的解集
（2）求直线l：3x+y-6=0被圆x²+y²-2y-4=0截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）在不等式两边同时除以-1，不等号方向改变，整理后将不等式左边的多项式分解因式后，根据两数相乘积为正，两因式同号，转化为两个不等式组，求出两不等式组的解集，即可得到原不等式的解集；
（2）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据垂径定理由垂直得中点，再利用勾股定理即可求出弦长．

解答：解：（1）-2x²-5x+3＜0，
变形为：2x²+5x-3＞0，
因式分解得：（2x-1）（x+3）＞0，
可化为：

2x-1＞0 x+3＞0

或

2x-1＜0 x+3＜0

，
解得：x＞

1

2

或x＜-3，
则原不等式的解集为（-∞，-3）∪（

1

2

，+∞）；
（2）把圆的方程化为标准方程得：x²+（y-1）²=5，
∴圆心坐标为（0，1），半径r=

5

，
∴圆心到直线3x+y-6=0的距离d=

5

10

=

10

2

，
则直线l被圆截得的弦长=2

r2-d2

=

10

．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，以及直线与圆相交的位置关系，涉及的知识有：多项式的因式分解，两数相乘时的取符号法则，点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．