Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD

   （I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；

   （II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；

   （III）求直线AB与平面PCD的距离． 

Answer 1

（1）证明见解析（2）45°（3）

解析:

法一、（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB

    又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB

    ∴BC⊥侧面PAB  又∵BC侧面PBC

∴侧面PAB⊥侧面PBC                                                                                               

  （II）解：取AB中点E，连结PE、CE

    又∵△PAB是等边三角形   ∴PE⊥AB                                                              

    又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD                                    

    ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角 

         

    在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求    

   （Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD                             

    ∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD

    取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB

    又∵PE⊥AB    ∴AB⊥平面PEF   又∵AB//CD

    ∴CD⊥平面PEF   ∴平面PCD⊥平面PEF

    作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD

    在Rt△PEF中，EG=为所求.         

法二、（坐标法　略）