Question

7．如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AA₁上点，A₁M：MA=3：1，求截面B₁D₁M与底面ABCD所成二面角．

Answer 1

分析 说明∠A₁OM就是所求二面角的平面角，设出棱长，即可求解．

解答 解：截面B₁D₁M与底面ABCD所成二面角就是截面B₁D₁M与底面A₁B₁C₁D₁所成二面角．
如图：连结B₁D₁与A₁C₁相交与O，连结MB₁，MD₁，MO，
因为几何体是正方体，所以B₁D₁⊥A₁C₁，AA₁⊥B₁D₁，
则B₁D₁⊥平面AA₁C₁C，∠A₁OM就是所求二面角的平面角，
设正方体的棱长为4，
则MA₁=3，A₁O=2$\sqrt{2}$．
可得tan∠A₁OM=$\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}O}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∠A₁OM=arctan$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，找出二面角的平面角是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．