Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）
（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．
所以函数f（x）=e^x-ln（x+1），其定义域为（-1，+∞）．
∵．
设g（x）=e^x（x+1）-1，则g^′（x）=e^x（x+1）+e^x＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f^′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f^′（x）＜0．
所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．
当m=2时，函数在（-2，+∞）上为增函数，且f^′（-1）＜0，f^′（0）＞0．
故f^′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实数根x₀，且x₀∈（-1，0）．
当x∈（-2，x₀）时，f^′（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，f^′（x）＞0，
从而当x=x₀时，f（x）取得最小值．
由f^′（x₀）=0，得，ln（x₀+2）=-x₀．
故f（x）≥=＞0．
综上，当m≤2时，f（x）＞0．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m=0时f（x）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（-2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（-1，0）上有唯一零点x₀，则当x=x₀时函数取得最小值，借助于x₀是导函数的零点证出f（x₀）＞0，从而结论得证．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．