Question

定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；
②f（x）=x²是一个“λ的相关函数”；
③“

1

2

的相关函数”至少有一个零点．
其中正确结论的是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用新定义“λ的相关函数”，对①②③逐个判断即可得到答案．

解答： 解：①∵f（x）=0是一个“λ的相关函数”，则0+λ•0=0，λ可以取遍实数集，因此f（x）=0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故①不正确；
②用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，
∴λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，
∴f（x）=x²不是一个“λ的相关函数”，故②不正确；
③令x=0得：f（

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2

）+

1

2

f（0）=0，
∴f（

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）=-

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2

f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；
若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

f（0）•f（0）=-

1

2

f²（0）＜0，
又因为f（x）的函数图象是连续不断，
∴f（x）在（0，

1

2

）上必有实数根．因此任意的“

1

2

相关函数”必有根，即任意“

1

2

的相关函数”至少有一个零点，故③正确．
综上所述，其中正确结论的个数是③．
故答案为：③

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查反证法与函数零点存在定理的应用，考查推理与转化思想，属于中档题．