【题目】已知椭圆的离心率为
,左顶点为
,过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于
两点,其中点
在第二象限,过点
作
轴的垂线交
于点
.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵当直线的斜率为
时,求
的面积;
⑶试比较与
大小.
【答案】⑴⑵
⑶见解析
【解析】试题分析:(1)利用离心率、左顶点坐标求解即可;(2)根据直线过原点且斜率为写出直线方程,联立直线和椭圆方程,求出
,再写出直线
的方程,求出点
的坐标,利用三角形的面积公式进行求解;(3)设直线
的方程为
,
,与椭圆方程联立,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.
试题解析:⑴因为左顶点为,所以
因为椭圆的离心率为,所以
,解得
又因为,所以
故所求椭圆的标准方程为
⑵因为直线过原点,且斜率为
所以直线的方程为
代入椭圆方程解得
因为,所以直线
的方程为
从而有
故的面积等于
⑶方法一:
设直线的方程为
,
代入椭圆方程得
设,则有
,解得
从而
由椭圆对称性可得
所以
于是
故
从而
所以
因为点在第二象限,所以
,于是有
方法二:
设点,则点
因为,所以直线
的方程为
所以
从而
从而有
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【题目】已知椭圆的离心率为
,若椭圆
与圆
相交于
两点,且圆
在椭圆
内的弧长为
.
(1)求的值;
(2)过椭圆的中心作两条直线
交椭圆
于
和
四点,设直线
的斜率为
,
的斜率为
,且
.
①求直线的斜率;
②求四边形面积的取值范围.
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【题目】如图,曲线由曲线
和曲线
组成,其中点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点,点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点,
(1)若,求曲线
的方程;
(2)如图,作直线平行于曲线
的渐近线,交曲线
于点
,
求证:弦的中点
必在曲线
的另一条渐近线上;
(3)对于(1)中的曲线,若直线
过点
交曲线
于点
,求△
面积的最大值.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值.
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【题目】某射击运动员射击1次,命中10环、9环、8环、7环(假设命中的环数都为整数)的概率分别为0.20,0.22,0.25,0.28. 计算该运动员在1次射击中:
(1)至少命中7环的概率;
(2)命中不足8环的概率.
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【题目】已知函数f(x)=cosx(sinx-cosx)+m(m∈R),将y=f(x)的图象向左平移
个单位后得到g(x)的图象,且y=g(x)在区间[
]内的最小值为
.
(1)求m的值;
(2)在锐角△ABC中,若g( )=
,求sinA+cosB的取值范围.
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【题目】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p , -p);
②求p的取值范围.
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【题目】设f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
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