Question

【题目】已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移 个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[]内的最小值为 ．

（1）求m的值；

（2）在锐角△ABC中，若g（ ）=，求sinA+cosB的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据二倍角公式化简，利用平移规律得出的解析式，根据最小值列方程求出；
（2）根据条件求出，用表示出，化简 得出关于函数，根据的范围得出正弦函数的性质得出的范围．

（1）f（x）=sinxcosx-cos2x+m=sin2x-cos2x+m-=sin（2x-）+m-，

∴g（x）=sin[2（x+）-]+m-=sin（2x+）+m-，

∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，

∴当2x+=时，g（x）取得最小值+m-=m，

∴m=．

（2）∵g（）=sin（C+）+-=-+，

∴sin（C+）=，

∵C∈（0，），∴C+∈（，），

∴C+=，即C=．

∴sinA+cosB=sinA+cos（-A）

=sinA-cosA+sinA

=sinA-cosA

=sin（A-）．

∵△ABC是锐角三角形，∴，

解得，

∴A-∈（，），

∴＜sin（A-）＜，

∴＜sin（A-）＜,

∴sinA+cosB的取值范围是（，）．