Question

【题目】已知抛物线经过点.

（1）写出抛物线的标准方程及其准线方程，并求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.

（i）求点的坐标；

（ii）求与面积之和的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，焦点到准线的距离为1； （2）（i），（ii）.

【解析】

（1）由抛物线经过点，求得抛物线的方程为，再结合抛物线的几何性质，即可求解；

（2）（i）设过点的直线，联立方程组，求得，再由直线的方程，，即可求解的坐标；

（ii）利用三角形的面积公式，求得与面积之和的表示，结合基本不等式，即可求解.

（1）由题意，抛物线经过点，即，

解得，所以抛物线的方程为，

抛物线的准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为1.

（2）（i）设过点的直线，

代入抛物线的方程，可得，

设直线与抛物线的交点，且，

则，

所以直线的方程为，

即，即，

令，可得，

所以，所以，所以，

（ii）如图所示，可得，

，

所以与面积之和为：

，

当且仅当时，即时等号成立，

所以与面积之和的最小值为.