Question

9．记f（x）=|lnx+ax+b|（a＞0）在区间[t，t+2]（t为正数）上的最大值为M_t（a，b），若{b|M_t（a，b）≥ln2+a}=R，则实数t的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由题意：f（x）=|lnx+ax+b|（a＞0）在区间[t，t+2]（t为正数）上的最大值为M_t（a，b），转化为f（x）_max={f（t），f（t+2）}，当f（t）=f（t+2）时，则有：-（lnt+at+b）=ln（t+2）+a（t+2）+b，化简得：
b=$\frac{ln（t+2）+lnt+2a（t+1）}{-2}$，当t＞x₀或t＜x₀时，f（x）_max＞f（t）或f（x）_max＞f（t+2），只需要f（t）≥f（x）_max，可得-（lnt+at+b）≥ln2+a，将b带入化简即可得t的最大值．

解答 解：由题意：f（x）=|lnx+ax+b|（a＞0）在区间[t，t+2]（t为正数）上的最大值为M_t（a，b），转化为f（x）_max={f（t），f（t+2）}，
当f（t）=f（t+2）时，
则有：-（lnt+at+b）=ln（t+2）+a（t+2）+b
那么：b=$\frac{ln（t+2）+lnt+2a（t+1）}{-2}$…①
当t＞x₀或t＜x₀时，
f（x）_max＞f（t）或f（x）_max＞f（t+2）
∴只需要f（t）≥f（x）_max，
即：-（lnt+at+b）≥ln2+a
得：b≤-lnt-at-ln2-a…②
把①式带入②，
得：lnt+ln（t+2）≥2lnt+2ln2
⇒ln（t+2）≥ln4t
⇒t+2≥4t
⇒t≤$\frac{2}{3}$
故选D．

点评 本题考查了恒等式问题，利用数形结合法，最值的讨论，绝对值不等式取等条件，f（t）=f（t+2）是解题的关键点．属于难题．