Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，直线l为4x-5y+40=0；直线l₁为4x-5y+5=0，直线l₂为4x-5y+m=0，l₁与椭圆相交于A、B两点，求|AB|

Answer 1

分析 将直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨AB丨．

解答 解：由题意可知：l₁与椭圆相交于A、B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{4x-5y+5=0}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8x-40=0，
则x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=-8，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{246}}{25}$，
∴|AB|=$\frac{12\sqrt{246}}{25}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．