Question

【题目】已知正三棱柱中，，点为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）当时，求证；

（Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在点,当时，二面角等于.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：连接，由为正三棱柱为正三角形，

又平面平面平面 .易得 丄平面 .（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.由丄平面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为

，平面的一个法向量为 ．

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，

因为为正三棱柱，所以为正三角形，

又因为为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，所以.

因为，所以，

所以在中，，

在中，，所以，即.

又，

所以丄平面，面，所以.

（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.

取的中点，连接，则丄平面，

所以，

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，得，

同理，平面的一个法向量为，

则，取，

∴.

∴，解得，

故存在点,当时，二面角等于.