Question

【题目】如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．

（1）若CG=1，CD=4．求 的值．
（2）求证：FG∥AC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形DEGF内接于⊙O，

∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．

因此△CGF∽△CDE，可得 = ，

又∵CG=1，CD=4，

∴ =4

（2）解：证明：∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，

∴AB2=ADAE，

∵AB=AC，

∴AC2=ADAE，可得 = ，

又∵∠EAC=∠DAC，

∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，

∵四边形DEGF内接于⊙O，

∴∠ADC=∠EGF，

因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC

【解析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此 = =4；（2）根据切割线定理证出AB2=ADAE，所以AC2=ADAE，证出 = ，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．