Question

【题目】已知二次函数．

（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为，求的解析式；

（2）求（1）中的最大值；

（3）若函数在[2，4]上是单调增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）0（3）m≤3或m≥8

【解析】

(1)根据对称轴与定义区间位置关系，分类求解最小值，按分段函数形式写的解析式；（2）根据一次函数与二次函数性质分段讨论函数最大值，最后取最大值中最大值，（3）先转化：f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，再根据对称轴以及单调性列方程组，解得实数的取值范围．

解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，对称轴为x=．

①若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．

②若，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．

③若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．

综上g（m）=．

（2）由（1）知g（m）=．

当m＜﹣2时，g（m）=2m＜﹣4，

当﹣2≤m≤2，g（m）==

当m＞2时，g（m）=0．

综上g（m）的最大值为0．

（3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，

∴，

所以或，

解得m≤3或m≥8．