【题目】设定义在上的函数
对于任意实数
,都有
成立,且
,当
时,
.
(1)判断的单调性,并加以证明;
(2)试问:当时,
是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由;
(3)解关于的不等式
,其中
.
【答案】(1)在
上是减函数,证明见解析;(2)
的最大值是
,最小值是
;(3)当
时,不等式的解集为
或
,当
时,不等式的解集为
.
【解析】
试题分析:(1)任意实数,且
,不妨设
,利用差比较法,计算
,所以函数为减函数;(2)
在
上单调递减,所以
有最大值
,有最小值
.利用赋值法求出
;(3)化简不等式得
,由于
为减函数,所以
,
.由于
,
或
,所以当
时,
,不等式的解集为
或
;当
时,
,不等式的解集为
.
试题解析:
(1)在
上是减函数,证明如下:对任意实数
,且
,不妨设
,其中
,则
,
∴.故
在
上单调递减.………………4分
(2)∵在
上单调递减,∴
时,
有最大值
,
时,
有最小值
.在
中,令
,得
,
故,
,所以
.
故当时,
的最大值是3,最小值是0.………………6分
(3)由原不等式,得,
由已知有,即
.
∵在
上单调递减,∴
,∴
.………………9分
∵,∴
或
.
当时,
,不等式的解集为
或
;
当时,
,不等式的解集为
.………………12分
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【题目】为了参加市高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出人组成男子篮球队,代表该地区参赛,四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表:
班级 | 高三(7)班 | 高三(17)班 | 高二(31)班 | 高二(32)班 |
人数 | 12 | 6 | 9 | 9 |
(1)现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员,求应分别从这四个班抽出的队员人数;
(2)该中学篮球队奋力拼搏,获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言,求选出的两名队员来自同一班的概率.
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【题目】已知数列满足
,
是数列
的前
项的和.
(1)若数列为等差数列.
①求数列的通项;
②若数列满足
,数列
满足
,试比较数列
前
项和
与
前
项和
的大小;
(2)若对任意恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
(2)点P在直线l:2x-4y+3=0上,过点P作圆C的切线,切点记为M,求使|PM|最小的点P的坐标.
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【题目】设是实数,
,
(1)若函数为奇函数,求
的值;
(2)试用定义证明:对于任意,
在
上为单调递增函数;
(3)若函数为奇函数,且不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围。
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【题目】在△ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+c·cosB.其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理.写出对空间四面体性质的猜想.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点与两焦点构成的三角形为正三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过点的直线与椭圆
交于
两点,若
的内切圆的面积的最大值为
,求椭圆的方程.
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【题目】学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间
(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象,当
时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点
,过点
;当
时,图象是线段
,其中
.根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求的函数关系式;
(2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
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