Question

【题目】已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．

（2）点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，过点P作圆C的切线，切点记为M，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1） （2＋）x－y＝0或（2－）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

（2） （－，）

【解析】（1）将圆C的方程整理，得（x＋1）2＋（y－2）2＝2.

①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，

则，解得k＝2±，

从而切线方程为y＝（2±）x.

②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，则，解得a＝－1或3，

从而切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

综上，切线方程为（2＋）x－y＝0或（2－）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

（2）因为圆心C（－1,2）到直线l的距离d＝，所以直线l与圆C相离．

当|PM|取最小值时，|CP|取得最小值，此时CP垂直于直线l.

所以直线CP的方程为2x＋y＝0.

解方程组得点P的坐标为（－，）．