Question

7．函数y=sin²x+2cosx+1的值域是[-1，3]．

Answer 1

分析 本题中含有两个名的三角函数，需要统一，可以借助三角部分存在的恒等式sin²x+cos²x=1转化．

解答 解：y=sin²x+2cosx+1=1-cos²x+2cosx+1=-（cosx-1）²+3，
∵-1≤cosx≤1，
∴-2≤cosx-1≤0，
两边平方，得0≤（cosx-1）²≤4，∴-4≤-（cosx-1）²≤0，
∴-1≤-（cosx-2）²+3≤3，
∴该函数的值域为[-1，3]．
故答案为：[-1，3]．

点评 1．函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类：
（1）求常见函数值域；
（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；
（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
2．通常求函数值域如下方法：
①直接法；  ②配方法；   ③逆求法（反求法）；  ④换元法；  ⑤三角有界法；
⑥基本不等式法；   ⑦单调性法；   ⑧数形结合；  ⑨导数法