Question

19．设f（x）=ax²+bx，且-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（-2）的取值范围．

Answer 1

分析 设f（-2）=mf（-1）+nf（1），由二次函数的解析式，可得a，b的恒等式，解方程可得m=3，n=1，再由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=ax²+bx，
可得f（-1）=a-b，f（1）=a+b，f（-2）=4a-2b，
设f（-2）=mf（-1）+nf（1），
则4a-2b=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+（-m+n）b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{-m+n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$，
即f（-2）=3f（-1）+f（1），
由-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
可得-3+2≤3f（-1）+f（1）≤6+4，
即-1≤f（-2）≤10．
则f（-2）的范围是[-1，10]．

点评 本题考查不等式的解法和运用，注意运用待定系数法和恒等式知识，考查运算能力，属于中档题．