Question

（2013•丰台区一模）如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E，F．若PF=2+

3

，PD=1，则⊙O的半径为

3

；∠EFD=

15°

．

Answer 1

分析：由切割线定理得PD²=PE•PF，代入题中数据解出PE=2-

3

．根据圆心0在直线PEF上，算出直径EF=PF-PE=2

3

，可得半径r=

3

．由△EDP∽△DFP算出

DE

DF

=

DP

DF

=2-

3

，再在Rt△DEF中利用正切的定义算出tan∠EFD=

DE

DF

=2-

3

，从而得到∠EFD的大小．

解答：解：∵线PD切⊙O于点D，PO交⊙O于点E，F．
∴PD²=PE•PF，可得1²=PE×（2+

3

），解之得PE=

1

2+ 3

=2-

3

由此可得EF=PF-PE=2+

3

-（2-

3

）=2

3

∵O是圆心，EF经过点O，∴直径EF=2

3

，可得⊙O的半径为r=

3

∵∠EDP=∠DFP，∠P是公共角，∴△EDP∽△DFP，可得

DE

DF

=

DP

DF

=2-

3

∵EF是⊙O直径，∴DE⊥DF
因此，Rt△DEF中，tan∠DFP=

DE

DF

=2-

3

结合∠DFP是锐角，得∠DFP=15°，即∠EFD=15°
故答案为：

3

，15°

点评：本题给出圆的切线长和经过圆心的割线长，求圆的半径并求∠EFD的大小．着重考查了切割线定理、相似三角形的判定与性质和直角三角形中三角函数的定义等知识，属于中档题．