Question

已知数列{a_n}的首项a₁=4，且当n≥2时，a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，数列{b_n}满足bn=

1

2-an

（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=4bn•(nan-6)（n=1，2，3…），如果对任意n∈N^*，都有cn+

1

2

t≤2t2，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）要证明数列{b_n}是等差数列，只要证明b_n-b_n-1=

1

2-an

-

1

2-an-1

=d（d常数），结合等差数列的通项公式可求b_n
（II）结合（I）可求cn=4bn•(nan-6)=

2n-4

2n

，然后结合数列的单调性可求c_n的最大值，然后由cn+

1

2

t≤2t2恒成立，则只要≤2t2-

1

2

t，解不等式可求

解答：（I）证明：∵bn=

1

2-an

，a_n-1a_n=4a_n-1-4
∴b_n-b_n-1=

1

2-an

-

1

2-an-1

=

an-an-1

4-2an-2an-1+a nan-1

=-

an-an-1

2an-2an-1

=-

1

2

∵a₁=4
∴b1=

1

2-a1

=-

1

2

∴数列{b_n}是以-

1

2

为首项，以-

1

2

为公差的等差数列6
∴bn=-

1

2

n，a_n=2+

2

n

（II）∵cn=4bn•(nan-6)=

2n-4

2n

则由c_n+1-c_n=

2n-4

2n

-

2n-6

2n-1

=

-2n+8

2n

＞0可得n＜4
∴c₁＜c₂＜c₃＜c₄＞c₅＞c₆＞…＞c_n
∴故c_n有最大值c₄=

1

4

又∵cn+

1

2

t≤2t2恒成立，
∴

1

4

≤2t2-

1

2

t
∴t≥

1

2

或t≤-

1

4

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键．