Question

8．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足$（{\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}}）•\overrightarrow{BC}$=0，且2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|${\overrightarrow{AB}}$|•|${\overrightarrow{AC}}$|，则△ABC为（　　）

• A． 三边都不等的三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰不等边三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 由第一个条件可得角A的平分线和BC边垂直，△ABC为等腰三角形，且AB=AC．
再根据第二个条件利用两个向量的数量积的定义求得 cos∠A=$\frac{1}{2}$，可得∠A的值．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足$（{\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}}）•\overrightarrow{BC}$=0，故角A的平分线和BC边垂直，
故△ABC为等腰三角形，且AB=AC．
∵2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2AB•AC•cos∠A=|${\overrightarrow{AB}}$|•|${\overrightarrow{AC}}$|，
∴cos∠A=$\frac{1}{2}$，∴∠A=$\frac{π}{3}$，
则△ABC为等边三角形，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．