Question

19．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G分别是AA₁、A₁B₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面BC₁D；
（Ⅱ）在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面BC₁D？若存在，求线段BH的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）假设EH⊥平面BC₁D，根据线面垂直的判定定理证明即可．

解答 解：（Ⅰ）连结B₁D₁，则GF为△A₁B₁D₁的中位线，∴GF∥B₁D₁…（1分）
∵在正方体中，BD∥B₁D₁，
∴GF∥BD，∵GF?平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴GF∥平面BC₁D，
同理可证：EF∥平面BC₁D，又EF?平面EFG，
∴平面EFG∥平面BC₁D，…（6分）
（Ⅱ）取BD的中点H，则满足EH⊥平面BC₁D，且BH=$\sqrt{2}$．
证明如下：
取BD的中点H，连结A₁C₁、EB、EH、ED、BC₁、C₁H，
则EB=ED=$\sqrt{5}$，

∴在△BED中，由$EB=\sqrt{5}$，$BH=\sqrt{2}$得$EH=\sqrt{3}$
由BC₁=2$\sqrt{2}$，BH=$\sqrt{2}$得C₁H=$\sqrt{6}$，
由A₁E=1，A₁C₁=2$\sqrt{2}$得C₁E=3，
∴△C₁EH中，EH⊥C₁H，又C₁H?BC₁D，
∴EH⊥平面BC₁D，且BH=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了面面平行，线面垂直的判定定理，是一道中档题．