Question

10．已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，-5≤f（x）≤1．
（1）设$g（x）=f（x+\frac{π}{2}）$，且lgg（x）＞0，求g（x）的单调递增区间；
（2）若不等式|f（x）-m|＜3对于任意$x∈（{0，\frac{π}{6}}]$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$，$-2asin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-2a，a}]$，f（x）∈[b，3a+b]，由题意即可求得a和b的值，求得函数f（x）的解析式，求得g（x）的解析式，由对数函数的性质可知g（x）＞1，由正弦函数图象可知，即可求得g（x）的单调递增区间；
（2）由（1）可知，$f（x）=-4sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1$，$x∈（{0，\frac{π}{6}}]$，$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈（\frac{1}{2}，1]$，即可求得f（x）∈[-5，-3），$\left\{\begin{array}{l}{m＜3+f（x）}\\{m＞f（x）-3}\end{array}\right.$恒成立，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜3+f（x）_{min}}\\{m＞f（x）_{max}-3}\end{array}\right.$，即可求得实数m的取值范围．

解答 （1）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
∴$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$ …1分
∴$-2asin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-2a，a}]$，
∴f（x）∈[b，3a+b]…2分
又∵-5≤f（x）≤1，
∴b=-5，3a+b=1，
∴a=2，b=-5 …4分
$f（x）=-4sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1$，$g（x）=4sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1$ …5分
∵lgg（x）＞0，
∴g（x）＞1，
∴$sin（{2x+\frac{π}{6}}）＞\frac{1}{2}$，
∴$2kπ+\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{5π}{6}，k∈Z$ …6分
∵g（x） 单调递增，…7分
∴g（x） 的单调递增区间为$（{kπ，kπ+\frac{π}{6}}），k∈Z$ …8分
（2）$f（x）=-4sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1$，$x∈（{0，\frac{π}{6}}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，
∴$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈（\frac{1}{2}，1]$，
∴f（x）∈[-5，-3）…9分
∵|f（x）-m|＜3 对于任意$x∈（{0，\frac{π}{6}}]$ 恒成立，等价于$\left\{\begin{array}{l}{m＜3+f（x）}\\{m＞f（x）-3}\end{array}\right.$恒成立 …10分
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜3+f（x）_{min}}\\{m＞f（x）_{max}-3}\end{array}\right.$…11分
∴-6≤m＜-2．

点评 本题考查正弦函图象及性质，正弦函数单调性及最值，考查不等式恒成立，考查转化思想，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．