Question

已知3^a+13^b=17^a，5^a+7^b=11^b，试判断a、b的大小并证明．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：不等式

分析：利用反证法证明，先假设a≥b，再构造函数，利用函数的单调性，得出a＜1＜b，这与假设相矛盾，问题得以证明

解答： 解：假设a≥b，则13^a≥13^b，5^a≥5^b，
由3^a+13^b=17^a得3^a+13^a≥17^a，
即(

3

17

)a+(

13

17

)a≥1，
由f（x）=(

3

17

)x+(

13

17

)x单调递减，
∴f（1）=

3

17

+

13

17

=

16

17

＜1，且f（a）≥1＞f（1），
则a＜1，
由5^a+7^b=11^b，得5^b+7^b≤11^b，
即(

5

11

)b+(

7

11

)b≤1，
由g（x）=(

5

11

)x+(

7

11

)x单调递减，
∴g（1）=

5

11

+

7

11

=

12

11

＞1，且g（a）≤1＜g（1），
则b＞1，
因此a＜1＜b，这与假设相矛盾，
故假设不成立，
故a＜b．

点评：本题主要考查了反证法，关键是利用反证法的步骤，找到与假设相矛盾的问题，属于难题