Question

已知函数f（x）=x²，设函数g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，是否存在实数q（q＞0），使得g（x）在区间（-∞，-4）是减函数，且在区间（-4，0）上是增函数．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（-∞，-4]上是减函数，且在区间（-4，0）（10）上是增函数，再利用复合函数的单调性，求出q的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答： 解：存在．
可设x²=t，则函数g（x）=-qf（x）+（2q-1）x²+1=-qt²+（2q-1）t+1，t≥0，
得其对称轴为t=

2q-1

2q

，又q＜0，所以抛物线开口向上，
g（x）在区间（-∞，-4）上是减函数，且在（-4，0）上是增函数
所以t必须在区间（16，+∞）上是减函数，且在（0，16）上是增函数
又t=x²本身是增函数，那么对称轴要等于16
即

2q-1

2q

=16，解得q=-

1

30

，
满足（q＜0）的条件． 
所以存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（-∞，-4]上是减函数，且在区间（-4，0）（10）上是增函数．

点评：考查学生幂函数的性质掌握能力，函数奇偶性的判断能力，以及函数单调性的应用能力．