Question

【题目】已知函数，且曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数的值及函数的最大值；

（2）证明：对任意的.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】分析：（1）求出导函数，已知切线方程说明，，代入后可得，然后确定函数的单调区间，得出最大值；

（2）不等式为，可用导数求得的最小值，证明这个最小值大于0，即证得原不等式成立．

详解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以当时，取得最大值．

（2）证明：原不等式可变为则

，可知函数单调递增，

而，

所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，使得．

当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以

.

即在（0，+∞）上恒成立，

所以对任意x＞0，成立．