Question

【题目】已知函数.

（1）设，求函数的单调区间；

（2）若函数在其定义域内有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间.（2）

【解析】

(1)对函数f(x)求导，然后构造函数，通过判断F(x)的单调性和最值即可得到函数f(x)的单调性；（2）“函数在其定义域内有两个零点”可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，利用导数的几何意义求解即可得到答案.

（1）

函数的定义域为，

令，则

令，得；令，得

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以

所以对任意恒成立，

所以的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）（法一）：的定义域为，

所以“函数在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不同的实数根”即方程在区间内有两个不同的实数根

故上述问题可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，如图

若令过原点且与函数图像相切的直线斜率为，由图可得

令切点

由，得，所以

又，所以，解得：

于是，所以

故实数的取值范围是

（法二）的定义域为，

，

当时，，

所以在单调递增，所以在不会有两个零点，不合题意，

当时，令，得，

在上，，在上单调递增，

在上，，在上单调递减，

所以，

又时，，

时，，

要使有两个零点，则有

即

所以

所以，即实数的取值范围为.