Question

(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭
圆上, .

(1)求直线的方程；
(2)求直线被过三点的圆截得的弦长；
(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1) ；(2) ；
(3)存在这样的两个圆,且方程分别为,。

(1)根据,B、P关于y轴对称,可求得,再求出BD的斜率,写出点斜式方程,再化成一般式即可.
(2)先求出BP的垂直平分线方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到此平分线的距离,再利用弦长公式求出弦长即可.
(3)解本小题的关系是先假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,从而分析出点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN.到此就有了明晰的解题思路.
(1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得……………………3分         
所以直线BD的方程为…………………………5分
(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,
所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为………………………8分
又圆心(0,－1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长
为……………………………10分
(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…………………………………12分
设,则,根据在直线上,
解得………………………14分
所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为
,……………………………16分