Question

如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，△ABC为等边三角形． O为AB的中点，OF⊥EC．
（Ⅰ）求证：OE⊥FC；
（Ⅱ）若FC与平面ABC所成的角为30°求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．设AF=1，AB=2．由∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知条件推导出∠FMP为二面角F-CE-B的平面角，由此能求出二面角F-CE-B的余弦值．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．   
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，…（2分），于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，…（4分）
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC． …（6分）
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2． …（7分）
∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，∴∠FCA=30°，
∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．…（9分）
设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．
取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，
∴∠FMP为二面角F-CE-B的平面角．…（12分）
在△MFP中，FM=MP=

3

，FP=2

2

，…（13分）
故cos∠FMP=

FM2+MP2-FP2

2FM•MP

=

3+3-8

3× 3 × 3

=-

1

3

，
即二面角F-CE-B的余弦值为-

1

3

．…（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．