Question

已知，函数f（x）=ax²+bx（a，b∈R），g（x）=lnx．函数f（x）的图象能否恒在函数y=bg（x）的上方？若能，求a，b的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：假设函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0时恒成立．分别对a，b分类讨论，再利用导数研究函数的单调性即可．

解答： 解：假设函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0时恒成立．
下面分类讨论：
①当a＜0时，f（x）图象开口向下，即f（x）＞bg（x）在x＞0时不可能恒成立，
②a=0时，bx＞blnx，
当b＞0时，可得x＞lnx，此式对于x＞0恒成立．
∴b＞0时，f（x）＞bg（x）恒成立，
b≤0时，f（x）＞bg（x）不成立，
③a＞0时，
若b＜0，则

a

b

＜

lnx-x

x2

．令h（x）=

lnx-x

x2

（x＞0）．
下面证明函数h（x）在区间（0，+∞）单调递增．
则h′（x）=

1+x-2lnx

x3

，
再令u（x）=1+x-2lnx，则u′(x)=

x-2

x

，
可知当x=2时，u（x）取得最小值u（2）=3-2ln2＞0．
∴h′（x）＞0，
因此函数h（x）在区间（0，+∞）单调递增．
可得

lnx-x

x2

无最小值，故f（x）＞bg（x）不可能恒成立，
若b=0，则ax²＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
若b＞0，则ax²+b（x-lnx）＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
综上，a=0，b＞0或a＞0，b≥0时＜函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的图象的上方．

点评：本题考查了恒成立问题的等价转化方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．