Question

已知a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ，求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ，得

1

a2

=

1

a1

=

1

5

，分n为奇数和n为偶数两种情况，利用放缩法能证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

解答： 证明：∵a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ，
∴a₁=3+2=5，a₂=9-4=5，

1

a2

=

1

a1

=

1

5

，
当n为奇数时，

1

an

=

1

3n+2n

，

1

an-2

=

1

3n-2+2n-2

，

1 an

1 an-2

=

3n-2+2n-2

3n+2n

＜

1

5

，

1

an-1

=

1

3n-1-2n-1

，

1

an-3

=

1

3n-3-2n-3

，

1 an-1

1 an-3

=

3n-3-2n-3

3n-1-2n-1

＜

1

5

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

5

×[

1-( 1 5 ) n+1 2

1- 1 5

]+

1

5

×[

1-( 1 5 ) n-1 2

1- 1 5

]＜

1

2

．
当n为偶数时，

1

an

=

1

3n-2n

，

1

an-2

=

1

3n-2-2n-2

，

1 an

1 an-2

=

3n-2-2n-2

3n-2n

＜

1

5

，

1

an-1

=

1

3n-1+2n-1

，

1

an-3

=

1

3n-3+2n-3

，

1 an-1

1 an-3

=

3n-3+2n-3

3n-1+2n-1

＜

1

5

，
∴∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

5

×[

1-( 1 5 ) n+1 2

1- 1 5

]+

1

5

×[

1-( 1 5 ) n-1 2

1- 1 5

]＜

1

2

．
综上，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．