Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a-3）x²-a（2a-3）x+b在（-1，1）上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：函数f（x）在区间（-1，1）上不单调?f'（x）=0在（-1，1）上有实根，且无重根，结合二次函数在（-1，1）上的图象求解．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a-3）x²-a（2a-3）x+b，
∴f'（x）=x²-（a-3）x-a（2a-3）
若函数f（x）在（-1，1）上不单调，则方程f'（x）=0在（-1，1）上有实根，且无重根
由f'（x）=0，得x₁=-a，x₂=2a-3，
∴-1＜-a＜1或-1＜2a-3＜1，
∴-1＜a＜1或1＜a＜2，
又-a≠2a-3，∴a≠1．
∴实数a的取值范围为-1＜a＜1或1＜a＜2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，函数f（x）在（-1，1）上不单调，则方程f'（x）=0在（-1，1）上有实根，且无重根，是解题的关键．