Question

已知矩形纸片AA′A₁′A₁，点B、C、B₁、C₁分别为AA′、A₁A₁′的三等分点，将矩形纸片沿BB₁、CC₁折成图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若面对角线AB₁⊥BC₁，求证：A₁C⊥AB₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：延长B₁C₁到D，使DC₁=B₁C₁，根据三角形外接圆的性质证明出A₁D⊥A₁B₁，进而根据线面垂直的性质推断出AA₁⊥A₁D，进而证明出A₁D⊥平面AA₁B₁，推断出AB₁⊥A₁D，根据四边形BCC₁D为平行四边形，推断出BC₁∥CD，进而依据AB₁⊥BC₁，证明出AB₁⊥CD，然后根据线面垂直的判定定理证明出AB₁⊥平面CA₁D，最后利用线面垂直的性质证明出A₁C⊥AB₁．

解答： 证明：延长B₁C₁到D，使DC₁=B₁C₁，
依题意知B₁C₁=A₁C₁=DC₁，
∴∠B₁A₁D=90°，即A₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁D，
∵A₁B₁?平面AA₁B₁，AA₁?平面AA₁B₁，A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴A₁D⊥平面AA₁B₁，
∵AB₁?平面AA₁B₁，
∴AB₁⊥A₁D，
∵BC∥C₁D，BC=C₁D，
∴四边形BCC₁D为平行四边形，
∴BC₁∥CD，
∵AB₁⊥BC₁，
∴AB₁⊥CD，
∵CD?平面CA₁D，A₁D?平面CA₁D，A₁D∩CD=D，
∴AB₁⊥平面CA₁D，
∵A₁C?平面CA₁D，
∴AB₁⊥A₁C．

点评：本题主要考查了线面垂直的性质和判定定理的运用．作出平面CA₁D，并证明出AB₁⊥平面CA₁D是关键．