Question

已知a₁=2，a_n=2-

1

an-1

．
（1）求证b_n=

1

an-1

为等差数列；
（2）求c_n=

1

bn•bn+1

的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n-1=1-

1

an-1

=

an-1-1

an-1

，从而得到

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，由此能证明数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）c_n=

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n-1

，由此利用裂项求和法能求出c_n=

1

bn•bn-1

的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵a₁=2，a_n=2-

1

an-1

，
∴a_n-1=1-

1

an-1

=

an-1-1

an-1

，
∴

1

an-1

=

an-1

an-1-1

=

an-1-1+1

an-1-1

=1+

1

an-1-1

，
∴

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，
∵

1

a1-1

=1，b_n=

1

an-1

，
∴数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）解：∵数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×1=n，
∴c_n=

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n-1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．