Question

如图，正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，问爬行2n条线段的长度的平方和是多少？

Answer 1

考点：数列的求和

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：根据中位线定理，每一次连接得到的正方形的边长是上一个正方形对角线的一半，即可得到第一、二、三次连接得到的正方形的边长，依此类推找出规律，可得出第n次围出的正方形的边长，再由题意和运用等比数列的前n项和公式即可．

解答： 解：由题意得，每一次连接得到的正方形的边长是上一个正方形对角线的一半，
根据中位线定理得：
第一次连接得到的正方形的边长为

2

2

a，第二次连接得出的正方形的边长为(

2

2

)2a=

1

2

a，
第三次次连接得出的正方形的边长为

2

4

a，…
综上可得第2n次围出的正方形边长为（

2

2

）²ⁿa．
由题意知，一只小虫在每个正方形爬行的线段的长度是此正方形的边长的一半，
所求的2n条线段的长度的平方和是：
s=

1

2

{（

2

2

a）²+[(

2

2

)2a]²+（

2

4

a）²+…+[（

2

2

）²ⁿa]²}
=

a2

4

[1+（

2

2

）²+（

2

2

）⁴+…+（

2

2

）^2（2n-1）]=

a2

4

×

1-( 1 2 )2n

1- 1 2

=

a2

2

•[1-(

1

4

)n]．

点评：本题以图形的变化为载体，考查了归纳推理的应用，中位线定理，等比数列的前n项和公式，解题的关键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律，求出第n次围出的正方形的边长．