Question

设函数f（x）=x²-kx+b，其中k，b为实数．
（Ⅰ）当b=6时，不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜m}，求实数k及m的值；
（Ⅱ）当b=2时，是否存在实数k，使得不等式f（sinx）≥k-1对任意的实数x∈[0，

π

2

]恒成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当b=6时，由题意x=2是方程f（x）=0的根，所以k=5，再利用韦达定理可求m的值；
（Ⅱ）当b=2时，存在实数k，使得不等式f（sinx）≥k-1对任意的实数x∈[0，

π

2

]恒成立，等价于k≤

sin2x+3

sinx+1

．求出右边的最值，即可求出k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当b=6时，由题意x=2是方程f（x）=0的根，所以k=5；
k=5时，2+m=5，所以m=3；
（Ⅱ）当b=2时，存在实数k，使得不等式f（sinx）≥k-1对任意的实数x∈[0，

π

2

]恒成立，
等价于k≤

sin2x+3

sinx+1

．
令g（x）=

sin2x+3

sinx+1

，则g（x）=（sinx+1）+

4

sinx+1

-2≥2，
∵x∈[0，

π

2

]，∴1≤sinx+1≤2，当且仅当sinx=1时，g（x）取最小值2，
∴k的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查二次不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．