Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（e为自然对数的底数）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在R上是单调增函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）若a=-1，求出函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）利用函数单调性和导数之间的关系建立方程关系即可得到结论．

解答： 解：（1）若a=-1，则f′（x）=（x²+x-2）e^x，
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＞0，解得x＞1或x＜-2，即函数的增区间为（-∞，-2）与（1，+∞），
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＜0，解得-2＜x＜1，即函数的减区间为（-2，1）；
（2）∵f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x，由f′（x）≥0⇒x²+（a+2）x+2a≥0对于x∈R恒成立，
则△=（a+2）²-8a≤0⇒（a-2）²≤0，
又（a-2）²≥0，∴a=2

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．